Question

20．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知曲線l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={ρ}^{2}}\end{array}\right.$代入即可得出直角坐標(biāo)方程．
（II）把曲線l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程化為：t²-2$\sqrt{2}$t=0，利用|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y-2x．
（II）把曲線l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程化為：t²-2$\sqrt{2}$t=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$，t₁t₂=0．
∴|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．