Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos4x-sin4x．
（1）求函數(shù)f（x）最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的單調(diào)性及值域．

Answer 1

分析 （1）運用兩角和的余弦函數(shù)公式和周期公式，即可得到結(jié)論．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，可得4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的單調(diào)性及值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos4x-sin4x=2cos（4x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，0]時，即x∈[-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{24}$]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]時，即x∈[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{6}$]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的值域為：[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查了兩角和的余弦函數(shù)公式和周期公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．