Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長為4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E為PA中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=PC，求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出AC⊥BD，PO⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）推導(dǎo)出PO⊥平面ABCD，求出S_△ABC和PO，取AO中點(diǎn)F，連結(jié)EF，EF是△PAO中位線，從而EF⊥平面ABC，由此能求出三棱錐E-ABC的體積．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)PO
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長為4的菱形，
∴AC⊥BD，
∵PD=PB=4，∴PO⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又PO⊥BD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD的邊長為4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，
∴BO=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AB=2$，AC=2AO=2$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=2$\sqrt{16-4}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×AC×BO=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2$=$4\sqrt{3}$，
PO=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
取AO中點(diǎn)F，連結(jié)EF，
∵E是PA中點(diǎn)，∴EF是△PAO中位線，
∴EF∥PO，且EF=$\frac{1}{2}PO$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×EF$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\sqrt{3}$=4．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．