【題目】已知橢圓的離心率為,過焦點且垂直于長軸的弦長為.
(1)已知點是橢圓上兩點,點為橢圓的上頂點,的重心恰好是橢圓的右焦點,求所
在直線的斜率;
(2)過橢圓的右焦點作直線,直線與橢圓分別交于點,直線與橢圓分別交于點,
且,求四邊形的面積最小時直線的方程.
【答案】(1);(2)或
【解析】
試題分析:(1)由橢圓的離心率為,過焦點且垂直于長軸的弦長為,列出方程組求出,,由此能求出橢圓方程為,由重心公式得,,由此結(jié)合點差法能求出直線的斜率;(2)設(shè),,,,由題意推導(dǎo)出,若直線中有一條斜率不存在,求出四邊形的面積為;若直線,的斜率存在,設(shè)直線的方程為,,與橢圓方程聯(lián)立,得,由此利用韋達定理、弦長公式求出,同理可求得,由此能求出四邊形的面積的最小值及此時直線的方程.
試題解析:(1)由題意:,,解得,
所求橢圓的方程為.
設(shè),∵,∴,根據(jù)題意,,
即,.
由 ①, ②
①②得,
∴.
(2)設(shè),,,,
則由題意:,
即
整理得:,
即,所以.
①若直線中有一條斜率不存在,不妨設(shè)的斜率不存在,則軸,
所以,,
故四邊形的面積.
②若直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為:,
則由,得,
則,,
,
同理可求得,,故四邊形的面積:
(當取“”),
此時,四邊形面積的最小值為,
所以直線方程為:或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】明代商人程大位在公元1592年編撰完成《算法統(tǒng)宗》一書.書中有如下問題:“今有女子善織,初日遲,次日加倍,第三日轉(zhuǎn)速倍增,第四日又倍增,織成絹六丈七尺五寸.問各日織若干?”意思是:“有一位女子善于織布,第一天由于不熟悉有點慢,第二天起每天織的布都是前一天的2倍,已知她前四天共織布6丈7尺5寸,問這位女子每天織布多少?”根據(jù)文中的已知條件,可求得該女了第一天織布________尺,若織布一周(7天),共織________尺.(其中1丈為10尺,1尺為10寸)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,設(shè)它的左、右焦點分別為、,左頂點為,上頂點為,且滿足.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程和離心率;
(Ⅱ)過點作不與軸垂直的直線交橢圓于、(異于點)兩點,試判斷的大小是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))
(1)求和的普通方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線相交于,兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當時,是否存在,使得成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是某校某班44名同學(xué)的某次考試的物理成績y和數(shù)學(xué)成績x的散點圖:
根據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,但圖中有兩個異常點A,B.經(jīng)調(diào)查得知,A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常,B生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準確,剔除這兩組數(shù)據(jù)后,對剩下的數(shù)據(jù)作處理,得到一些統(tǒng)計量的值:
,,,,,其中,分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績,.y與x的相關(guān)系數(shù).
(1)若不剔除A、B兩名考生的數(shù)據(jù),用44數(shù)據(jù)作回歸分析,設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為,試判斷與r的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到),并估計如果B考生參加了這次物理考試(已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>125分),物理成績是多少?(精確到個位).
附:回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見,因為六、八是中國人的吉利數(shù)字,所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.數(shù)學(xué)李老師有一個正六棱柱形狀的筆筒,如圖,底面邊長為,高為(底部及筒壁厚度忽略不計).一根長度為的圓鐵棒(粗細忽略不計)斜放在筆筒內(nèi)部,的一端置于正六棱柱某一側(cè)棱的底端,另一端置于和該側(cè)棱正對的側(cè)棱上.一位小朋友玩耍時,向筆筒內(nèi)注水,恰好將圓鐵棒淹沒,又將一個圓球放在筆筒口,球面又恰好接觸水面,則球的表面積為______.
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