Question

13．已知函數(shù)f（x）=|kx-1|．
（Ⅰ）若f（x）≤3的解集為[-2，1]，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）當k=1時，若對任意x∈R，不等式f（x+2）-f（2x+1）≤3-2m都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論k的范圍，求出不等式的解集，從而求出k的值即可；
（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）-f（2x+1），根據(jù)h（x）的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）顯然k≠0，
k＞0時，f（x）≤3的解集是[-$\frac{2}{k}$，$\frac{4}{k}$]，
∴-$\frac{2}{k}$=-2且$\frac{4}{k}$=1，但k無解，
k＜0時，f（x）≤3的解集是[$\frac{4}{k}$，-$\frac{2}{k}$]，
∴$\frac{4}{k}$=-2且-$\frac{2}{k}$=1，解得：k=-2，
綜上，k=-2；
（Ⅱ）k=1時，令h（x）=f（x+2）-f（2x+1）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，（x≤-1）}\\{3x+1，（-1＜x＜0）}\\{-x+1，（x≥0）}\end{array}\right.$，
由此可得，h（x）在（-∞，0]上遞增，在[0，+∞）遞減，
∴x=0時，h（x）取最大值1，
由題意得：1≤3-2m，解得：m的范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了解不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想，是一道中檔題．