Question

8．．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O點，連接OP，運用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）由線面垂直的判定定理，證得AC⊥面BDD₁B₁，再由面面垂直的判定定理即可得證．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O點，連接OP，
因為O為矩形對角線的交點，O為BD的中點，P為DD₁的中點，
則OP∥BD₁，又因為OP?面APC，BD₁?面APC
所以直線BD₁∥平面PAC；
（2）因為AB=AD=1，所以矩形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，
由長方體可知，DD₁⊥AC，而BD∩DD₁=D，
所以AC⊥面BDD₁B₁，且AC?面PAC，
則平面PAC⊥平面BDD₁B₁．

點評 本題考查線面平行和面面垂直的判定，注意運用線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，考查轉化思想，推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．