Question

3．已知$|\overrightarrow a|=3，|\overrightarrow{b|}=4$，且$|\overrightarrow a|$與$|\overrightarrow{b|}$為不共線的平面向量．
（1）若$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，求k的值；
（2）若$（k\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$∥$（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列出方程求出k的值；
（2）利用向量的共線定理，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）因為$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，
所以$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）=0$，
所以${\overrightarrow a^2}-{k^2}{\overrightarrow b^2}=0$，…（3分）
因為$|{\overrightarrow a}|=3$，$|{\overrightarrow b}|=4$，
所以9-16k²=0，
解得$k=±\frac{3}{4}$；
（2）因為$（k\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$∥$（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，且$\overrightarrow a-k\overrightarrow b≠0$，
所以存在實數(shù)λ，使得$k\overrightarrow a-4\overrightarrow b=λ（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）=λ\overrightarrow a-λk\overrightarrow b$，
因為$|{\overrightarrow a}|=3$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，
所以$\left\{\begin{array}{l}k=λ\\-4=-kπ\(zhòng)end{array}\right.$，
解得k=±2．

點評 本題考查了向量垂直于共線的應(yīng)用問題，也考查了方程思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．