Question

6．設(shè)a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=ax²-bx-a+b．
（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；
   （ii）若f（x）在[0，1]上的最大值為b-a，求$\frac{a}$的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b-a|恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）（x-1）（ax+a-b）＜0，分類討論得出：當(dāng)b＞2a時(shí)，解集為（1，$\frac{b-a}{a}$），當(dāng)b＜2a時(shí)，解集為（$\frac{b-a}{a}$，1），當(dāng)b=2a時(shí)，解集為∅
（ii）分類得出①當(dāng)0$＜\frac{2a}$$＜\frac{1}{2}$時(shí)，②當(dāng)$\frac{2a}$$≥\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{a}$≥1，判斷結(jié)果是不是符合題意．
（Ⅱ）把不等式f（x）≤（x+1）|2b-a|，得ax²-（b+|2b-a|）x-a+b-|2b-a|≤0，即x²-（$\frac{a}$+|2$\frac{a}$-1|）x$\frac{a}$-1-|2$\frac{a}$-1|≤0，
令t=$\frac{a}$，則x²-（t+|2t-1|）xt-1-|2t-1|≤0，當(dāng)△=（t+|2t-1|）²-4（t-1-|2t-1|）＞0，時(shí)，求解不等式，分類討論即可．
（1）當(dāng)t$≥\frac{1}{2}$時(shí)，只需m≤$\frac{3t-1+\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$恒成立．即m≤1
2）當(dāng)0$＜t＜\frac{1}{2}$時(shí)，只需要m≤=$\frac{1-t+\sqrt{{t}^{2}-14t+9}}{2}$恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可．

解答 解：（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
即（x-1）（ax+a-b）＜0，
當(dāng)b＞2a時(shí)，解集為（1，$\frac{b-a}{a}$）
當(dāng)b＜2a時(shí)，解集為（$\frac{b-a}{a}$，1），
當(dāng)b=2a時(shí)，解集為∅
（ii）∵a＞0，b＞0，∴$\frac{a}$＞0，
①當(dāng)0$＜\frac{2a}$$＜\frac{1}{2}$時(shí)，即0＜b＜a時(shí)，f（0）=b-a＜0=f（1），不符合題意，
②當(dāng)$\frac{2a}$$≥\frac{1}{2}$時(shí)，即b≥a時(shí)，f（0）=b-a≥0=f（1），符合題意，
$\frac{a}$≥1，
∴$\frac{a}$的取值范圍：[1，∞）
（Ⅱ）由不等式f（x）≤（x+1）|2b-a|，得ax²-（b+|2b-a|）x-a+b-|2b-a|≤0，
則x²-（$\frac{a}$+|2$\frac{a}$-1|）x$+\frac{a}$-1-|2$\frac{a}$-1|≤0，
令t=$\frac{a}$，則x²-（t+|2t-1|）x+t-1-|2t-1|≤0，
當(dāng)△=（t+|2t-1|）²-4（t-1-|2t-1|）＞0，時(shí)，
解得
$\frac{t+|2t-1|-\sqrt{（t+|2t-1|）2-4（t-1-|2t-1|）}}{2}$≤x≤$\frac{t+|2t-1|+\sqrt{（t+|2t-1|）2-4（t-1-|2t-1|）}}{2}$，
（1）當(dāng)t$≥\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{3t-1-\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$≤x≤$\frac{3t-1+\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$，
又因?yàn)?\frac{3t-1-\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$＜0，$\frac{3t-1+\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$≥1，
只需m≤$\frac{3t-1+\sqrt{（3t-1）^{2}+4t}}{2}$恒成立．即m≤1
（2）當(dāng)0$＜t＜\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-t-\sqrt{（1-t）^{2}-4（3t-2）}}{2}$≤x≤$\frac{1-t+\sqrt{（1-t）^{2}-4（3t-2）}}{2}$，
顯然$\frac{1-t-\sqrt{（1-t）^{2}-4（3t-2）}}{2}$＜0，且y=$\frac{1-t+\sqrt{（1-t）^{2}-4（3t-2）}}{2}$=$\frac{1-t+\sqrt{{t}^{2}-14t+9}}{2}$在（0，$\frac{1}{2}$）上遞減，所以$\frac{1-t+\sqrt{{t}^{2}-14t+9}}{2}$＞1，
所以只需要m≤=$\frac{1-t+\sqrt{{t}^{2}-14t+9}}{2}$恒成立，
即m≤1，
綜上，m的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，分類討論，利用好方程的根，與不等式解集的關(guān)系，難度較大，屬于難題，關(guān)鍵是確定根，寫解集．