Question

15．已知圓C：x²+y²=25和兩點(diǎn)A（3，4），B（-1，2），則直線AB與圓C的位置關(guān)系為相交，若點(diǎn)P在圓C上，且S_△ABP=$\frac{5}{2}$，則滿足條件的P點(diǎn)共有4個(gè)．

Answer 1

分析 求出直線AB的斜率和點(diǎn)斜式方程，求得圓心到直線AB的距離，與半徑比較即可判斷AB與圓C的關(guān)系；求出AB的長(zhǎng)，運(yùn)用三角形的面積公式，求得P到直線AB的距離，即可判斷P的個(gè)數(shù)．

解答 解：直線AB的斜率為k=$\frac{4-2}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，
即有AB：y-4=$\frac{1}{2}$（x-3），即為
x-2y+5=0，
圓心C（0，0）到直線AB的距離為$\frac{|0-0+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$＜5，
則直線AB和圓C相交；
由于|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
S_△ABP=$\frac{5}{2}$，則$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$d=$\frac{5}{2}$，
即有d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即P到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
而C到直線AB的距離為$\sqrt{5}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
且5-$\sqrt{5}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有在直線AB的兩側(cè)均有兩點(diǎn)到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則滿足條件的P點(diǎn)共有4個(gè)．
故答案為：相交；4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．