Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的上，下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，左頂點(diǎn)為B₁，左焦點(diǎn)為F₁，若直線A₁F₁交直線A₂B₁于點(diǎn)D，則cos∠B₁DF₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出直線A₁F₁的方程

3

x-y+

3

=0，直線A2 B2的方程

3

x+2y+2

3

=0，從而求出

DB1

=（-

2

3

，

3

3

），

DF1

=（

1

3

，

3

3

），由此能求出cos∠B₁DF₁的值．

解答： 解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的上，下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，左頂點(diǎn)為B₁，左焦點(diǎn)為F₁，
∴A₁（0，

3

），A₂（0，-

3

），左頂點(diǎn)為B₁（-2，0），左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），
∴直線A₁F₁的方程為

x

-1

+

y

3

=1，即

3

x-y+

3

=0，
直線A2 B2的方程為

x

-2

+

y

- 3

=1，即

3

x+2y+2

3

=0，
解方程組

3 x-y+ 3 =0 3 x+2y+2 3 =0

，得D（-

4

3

，-

3

3

），
∵B₁（-2，0），
∴

DB1

=（-

2

3

，

3

3

），

DF1

=（

1

3

，

3

3

），
cos＜

DB1

，

DF1

＞=

- 2 9 + 1 3

4 9 + 3 9 • 1 9 + 3 9

=

7

14

．
∴cos∠B₁DF₁=

7

14

．
故答案為：

7

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線的截距式方程和向量知識(shí)的合理運(yùn)用．