【題目】已知拋物線 ,定點(diǎn)(常數(shù))的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求證:

(2)若,以為直徑的圓的位置是否恒過(guò)一定點(diǎn)?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2))以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】試題分析:(1)要證明∠AED=∠BED,根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系,只要證KAE=-KBE即可,討論直線AB的斜率是否存在,設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,即可得證;(2)設(shè)動(dòng)直線l方程為x=ty+b,表示出B坐標(biāo),聯(lián)立l與拋物線解析式,消去x得到關(guān)于y的方程,根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關(guān)系式,進(jìn)而設(shè)出A與O的坐標(biāo),表示出向量AO與向量BO根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直,即數(shù)量積為0,列出關(guān)系式,確定出當(dāng)m=1,n=0時(shí),上式對(duì)任意x∈R恒成立,即可得出使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)O,以及此時(shí)O的坐標(biāo).

試題解析:(1)(a)當(dāng)直線垂直于軸時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性有, ;

當(dāng)直線軸不垂直時(shí),依題意,

可設(shè)直線的方程為,

, ,則兩點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足方程組

消去并整理,得

,

設(shè)直線的斜率分別為, ,則

,

.

綜合(a)(b)可知.

(2)以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).提示:證明

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求直方圖中x的值;

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?

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的有4人,不打算生二胎的有6人.

(1)從這10人中隨機(jī)抽取3人,記打算生二胎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率作為概率,從該市70后中隨機(jī)抽取3人,記打算生二胎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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⑴寫(xiě)出列聯(lián)表;⑵判斷產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造是否有關(guān),說(shuō)明理由.

附: ,

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(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程;

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分?jǐn)?shù)大于等于120分鐘

分?jǐn)?shù)不足120分

合計(jì)

周做題時(shí)間不少于15小時(shí)

4

22

周做題時(shí)間不足15小時(shí)

合計(jì)

50

(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否有99%以上的把握認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;

(Ⅱ)(ⅰ)按照分層抽樣,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

(ii) 若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人,求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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