Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓T的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一條準(zhǔn)線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)．

（1）求橢圓T的方程；

（2）設(shè)四邊形ABCD是矩形，且四條邊都與橢圓T相切．求證：滿足條件的所有矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓上；

Answer 1

（1）因?yàn)闄E圓T的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一條準(zhǔn)線方程為y＝2，

所以橢圓T的焦點(diǎn)在y軸上，于是可設(shè)橢圓T的方程為＋＝1(a＞b＞0)．

因?yàn)闄E圓T經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，

所以  解得

故橢圓T的方程為．

（2）由題意知，矩形ABCD是橢圓的外切矩形，

(i)若矩形ABCD的邊與坐標(biāo)軸不平行，則可設(shè)一組對(duì)邊所在直線的方程為，

則由消去y得，

于是，化簡(jiǎn)得．

所以矩形ABCD的一組對(duì)邊所在直線的方程為，即，

則另一組對(duì)邊所在直線的方程為，

于是矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)滿足，

即，亦即．

(ii)若矩形ABCD的邊與坐標(biāo)軸平行，則四個(gè)頂點(diǎn)顯然滿足．

故滿足條件的所有矩形的頂點(diǎn)在定圓上．