Question

5．若對任意x∈R，不等式sin2x+2sin²x-m＜0恒成立，則m的取值范圍是（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換可得 m＞$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，再根據(jù)$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1 的最大值為$\sqrt{2}$+1，從而求得m的范圍．

解答 解：不等式sin2x+2sin²x-m＜0，即 m＞sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
由于$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1 的最大值為$\sqrt{2}$+1，∴m＞$\sqrt{2}$+1，
故答案為：（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．