Question

13．已知如圖①，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖②．
（1）判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由中位線定理得AB∥EF，由此能證明AB∥平面DEF．
（2）推導(dǎo)出AD⊥BC，從而AD⊥平面BDC，進(jìn)而點(diǎn)E到平面BDC的距離為$\frac{1}{2}AD=1$，由此能求出棱錐E-DFC的體積．

解答 解：（1）直線AB∥平面DEF．
證明如下：
在△ABC中，∵E，F(xiàn)為中點(diǎn)，
∴AB∥EF，
∵AB?平面DEF，EF⊆平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
解：（2）∵二面角A-DC-B是直二面角，
∴平面ADC⊥平面BDC，
∵AC=BC，D為AB中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
∵平面ADC∩平面BDC=DC，AD?平面ADC，
∴AD⊥平面BDC，
∴點(diǎn)E到平面BDC的距離為$\frac{1}{2}AD=1$，
又∵${S_{△DFC}}=\frac{1}{2}{S_{△DBC}}=\frac{1}{4}{S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，
∴${V_{E-DFC}}=\frac{1}{3}{S_{△DFC}}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面關(guān)系的判斷與證明，考查棱錐體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．