Question

7．已知函數(shù)f（x）=-8sinx+tanx（x∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）），則f（x）為增函數(shù)的概率為（　�。�

• A． $\frac{2}{π}$
• B． $\frac{1}{π}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導數(shù)求得f（x）的單調遞增區(qū)間，f（x）為增函數(shù)的概率即為單調增區(qū)間的長度比上總長度．

解答 解：f（x）=-8sinx+tanx，
f′（x）=-8cosx+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1-8co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$，
f（x）為增函數(shù)，f′（x）=$\frac{1-8co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$＞0，
∴cosx＜$\frac{1}{2}$，又x∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴x∈（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$）∪（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
f（x）為增函數(shù)的概率P=$\frac{\frac{π}{6}×2}{π}$=$\frac{1}{3}$．
故答案選：D．

點評 本題考查古典概型，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，并求出其長度，并求出其與總長度的比值，屬于中檔題．