Question

5．正三棱錐底面邊長為a，側(cè)棱與底面成45°角，求棱錐的全面積與體積．

Answer 1

分析 欲求正三棱錐的體積，先求正三棱錐的高，由題意，頂點在底面中的射影是底面的中心，從而利用側(cè)棱與底面所成角為45°角，可求底面邊長，從而得解．

解答 解：正三棱錐的高為h，由題意，頂點在底面中的射影是底面的中心，從而有高為h=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，底面邊長為：m，
$\frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{3}{2}$，m=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，SD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．
∴正三棱錐的體積等于 $\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}a$×$（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．
表面積：$\frac{\sqrt{3}}{4}×（{\frac{\sqrt{6}}{2}a）}^{2}+3×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a×\frac{\sqrt{10}}{4}a$=$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{8}{a}^{2}$

點評 本題主要考查棱錐，線面關系、直線與平面所成的角、點到面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離．