Question

14．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e
=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；
則當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)；
f（e）=$\frac{1}{e}$-e²+2e²+m=e²+$\frac{1}{e}$+m；
故當(dāng)f（e）＜0，即m＜-（e²+$\frac{1}{e}$）時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，
當(dāng)f（e）=0，即m=-（e²+$\frac{1}{e}$）時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)e，
當(dāng)f（e）＞0，即m＞-（e²+$\frac{1}{e}$）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷．