Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{3}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]上為減函數(shù)，[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）上為增函數(shù)．請你用單調(diào)性的定義證明：f（x）=2x+$\frac{3}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上為減函數(shù)．

解答 證明：設(shè)${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=2{x}_{1}+\frac{3}{{x}_{1}}-2{x}_{2}-\frac{3}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$0＜{x}_{1}{x}_{2}＜\frac{3}{2}$；
∴$2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差比較f（x₁），f（x₂）的方法，作差后是分式的一般需通分，并且一般要提取公因式x₁-x₂，不等式性質(zhì)的運(yùn)用．