Question

19．已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出該函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象，并結(jié)合圖象說出f（x）的單調(diào)性；
（3）求該函數(shù)f（x）在[-4，-1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，利用條件，求出函數(shù)的解析式，即可得出結(jié)論；
（2）作出該函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象，利用圖象可得f（x）的單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞減，即可求該函數(shù)f（x）在[-4，-1]的最大值和最小值．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-\frac{1}{x}，x＜0}\\{x+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象如圖所示：

單調(diào)增區(qū)間（-1，0），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間（-∞，-1），（0，1）；
（3）函數(shù)f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞減，最大值f（-4）=$\frac{17}{4}$，最小值f（-1）=2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．