Question

20．函數(shù)f（x）=m+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）先通分得到f（x）=$\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$，從而得到f（-x）=$\frac{m+（m+2）•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，從而f（-x）=-f（x），這樣即可得出m的值；
（2）可以看出，x增大時(shí)，f（x）減小，從而f（x）為減函數(shù)，用定義證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，便可證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出f（x）在R上為減函數(shù)．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
$f（x）=m+\frac{2}{{2}^{x}+1}=\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$；
∴$f（-x）=\frac{m•{2}^{-x}+m+2}{{2}^{-x}+1}=\frac{m+（m+2）•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$-\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$；
∴（m+2）•2^x+m=-m•2^x-（m+2）；
∴m+2=-m；
∴m=-1；
（2）$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，該函數(shù)為減函數(shù)；
證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)、減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，以及作差比較f（x₁）與f（x₂）的方法，作差后是分式的一般需通分．