Question

9．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，延長CD、BA交于E，且CD=AE，CE=12，EB=24，DA⊥EB，則AC=4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)CD=a，由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，可得∠DCB=90°，運(yùn)用圓的割線定理和三角形的余弦定理，即可得到a和AC的值．

解答 解：設(shè)CD=a，由題意AE=CD=a，
在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAB+∠DCB=180°，
由DA⊥EB，可得∠DCB=90°，
在直角三角形BCE中，CE=12，EB=24，
可得cos∠CEB=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
再在直角三角形DAE中，可得DE=$\frac{AE}{cos∠DEA}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}}$=2a，
由圓的割線定理可得，ED•EC=EA•EB，
即有2a•3a=a•24，
解得a=4，
則EC=12，EA=4，
在△ACE中，AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠CEB
=16+144-2×4×12×$\frac{1}{2}$=112，
可得AC=4$\sqrt{7}$．
故答案為：4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)和圓的割線定理的運(yùn)用，考查三角形的余弦定理，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．