已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）離心率為
2
2
，且橢圓的長軸比焦距長2
2
-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M（0，-
1
3
）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)橢圓離心率為
2
2
，且橢圓的長軸比焦距長2
2
-2，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論．解法一：若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-
1
3
，將它代入橢圓方程，并整理，利用
TA
•
TB
=0恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，即可得出結(jié)論；解法二：猜出T（0，1）就是所求的點(diǎn)，再進(jìn)行證明即可．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，則
由題設(shè)可知
a-c=
2
-1
c
a
=
2
2
a2=c2+b2
，解此方程組得a=
2
，b=1．
所以橢圓C的方程是
x2
2
+y2=1．…5分
（2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．
若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-
1
3
，
將它代入橢圓方程，并整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)， B(x2，y2)，則 
x1+x2=
12k
18k2+9
x1x2=
-16
18k2+9
.

因?yàn)?span id="iggoxdd" class="MathJye">
TA
=(x1-u，y1-v)， 
TB
=(x2-u，y2-v)及y1=kx1-
1
3
，y2=kx2-
1
3
，
所以
TA
•
TB
=(k2+1)x1x2-(u+
1
3
k+kv)(x1+x2)+u2+v2+
2v
3
+
1
9

=
(6u2+6v2-6)k2-4ku+(3u2+3v2+2v-5)
6k2+2
…9分
當(dāng)且僅當(dāng)
TA
•
TB
=0恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，
所以
6u2+18v2-18=0
u=0
3u2+3v2+2v-5=0.
解得u=0，v=1．
此時(shí)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．…11分
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x2+y2=1也過點(diǎn)T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件．…13分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1．
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是x2+(y+
1
3
)2=
16
9
．…7分
由
x2+y2=1
x2+(y+
1
3
)2=
16
9
.
解得
x=0
y=1
．
由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．…8分
事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)．證明如下：
當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為x2+y2=1，
過點(diǎn)T（0，1）；
當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx-
1
3
，代入橢圓方程，并整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(x1，y1)， B(x2，y2)，則
x1+x2=
12k
18k2+9
x1x2=
-16
18k2+9
.
…10分
因?yàn)?span id="kd2j7io" class="MathJye">
TA
=(x1，y1-1)， 
TB
=(x2，y2-1)，
所以
TA
•
TB
=
-16k2-16-16k2+32k2+16
18k2+9
=0．
所以
TA
⊥
TB
，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．…13分．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若F1、F2是雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該雙曲線上一點(diǎn)，滿足|PF1|+|PF2|=9，則|PF1|•|PF2|=（　�。�
A、4
B、5
C、
65
4
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直線l：y=2x-4交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大，并求這個(gè)最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，m∈R．
（Ⅰ）若方程C表示圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若圓C與直線l：4x-3y+7=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=2
3
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
m
=（bsinx，acosx），
n
=（cosx，-cosx），f（x）=
m
•
n
+a，其中a，b，x∈R．且滿足f（
π
6
）=2，f′（0）=2
3
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-log 
1
3
k=0在區(qū)間[0，
2π
3
]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，
3
2
）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的與雙曲線C2：3x2-y2=1有公共漸近線，且過點(diǎn)A（1，0）．
（1）求雙曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F1、F2分別是雙曲線C1左、右焦點(diǎn)．若P是該雙曲線左支上的一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
5x2+9x+4
x2-1
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=3sin（2x-
π
6
）在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域?yàn)?div id="xnee1sg" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．

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同步練習(xí)冊答案