Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3x-19\;\;\;（x≤0）\\{e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x＞0）\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）與y=kx恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（　�。�

• A． （1，e）
• B． [1，3]
• C． （3，+∞）
• D． （e，3]

Answer 1

分析 直線y=kx繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，與曲線y=e^x相切，和y=3x-1平行的情況，設(shè)出切點(diǎn)，列出方程，求出切線的斜率，然后觀察即可得到k的取值范圍．

解答 解：直線y=kx繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，與曲線y=e^x相切，和y=3x-19平行的情況，
令切點(diǎn)為（m，n），則n=e^m，e^m=k，n=km，
解得m=1，n=e，k=e，
當(dāng)k＞3時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)e＜k≤3時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．
故方程f（x）-kx=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（e，3]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，考查方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．