Question

18．如圖，四邊形ABCD中，△ABD是正三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，沿AB將△ABD折起，使得平面ABD⊥平面ABC，若三棱錐D-ABC的外接球的表面積為$\frac{28π}{3}$，則三棱錐D-ABC的側面ACD的面積為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意，三棱錐D-ABC的外接球的半徑為$\sqrt{\frac{7}{3}}$，再求出AB，即可求出三棱錐D-ABC的側面ACD的面積

解答 解：由題意，三棱錐D-ABC的外接球的半徑為$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
設AB=4a，球心到平面ABC的距離為h，則由勾股定理可得$\frac{7}{3}$=h²+8a²=$4{a}^{2}+（2\sqrt{3}a-h）^{2}$，∴a=$\frac{1}{2}$．
△ACD中，AD=4a，AC=DC=4$\sqrt{2}a$，∴三棱錐D-ABC的側面ACD的面積為$\frac{1}{2}•4a•\sqrt{32{a}^{2}-4{a}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案為$\sqrt{7}$．

點評 本題考查三棱錐D-ABC的外接球的表面積，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．