Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
（1）若c=2，求sinC；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求2sinB=$\sqrt{5}$cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB，進(jìn)而可求sinB，由正弦定理即可求得sinC的值．
（2）由（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤$\frac{15}{2}$，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵2sinA=acosB，$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}$，b=$\sqrt{5}$，
∴2sinB=$\sqrt{5}$cosB，
即tanB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵c=2，
∴sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）得cosB=$\frac{2}{3}$，
∴5=a²+c²-$\frac{4}{3}$ac≥2ac-$\frac{4}{3}$ac=$\frac{2}{3}$ac，
即有ac≤$\frac{15}{2}$，
可得：△ABC面積的最大值為：$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．