Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁的面積$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），對(duì)直線AB的斜率分類討論：當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直接驗(yàn)證即可．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，與橢圓方程聯(lián)立化為（4+3m²）y²+6my-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，|F₁F₂|=2，再利用${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}||{F}_{1}{F}_{2}|$解出即可．

解答 解：∵$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=1代入橢圓方程可得：$\frac{{y}^{2}}{3}=\frac{3}{4}$，解得$y=±\frac{3}{2}$，
∴|AB|=3，
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|AB||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×3×2$=3，不符合題意，舍去．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化為（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}-\frac{4×（-9）}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$，
|F₁F₂|=2
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2×\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
化為18m⁴-m²-17=0，
解得m²=1，∴m=±1．
∴直線l的方程為：±y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與拋物線相交問(wèn)題弦長(zhǎng)問(wèn)題、三角形的面積計(jì)算公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．