Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos}^{2}\frac{x}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（I）求f（x）的最大值，并求此時x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，a=2，c=3，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合降冪公式及輔助角公式化簡求得f（x），進一步求得函數(shù)的最大值，并求得使函數(shù)取得最大值的x的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式結(jié)合f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$求得B，再由余弦定理求得b，最后由正弦定理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos}^{2}\frac{x}{4}$），
得f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+co{s}^{2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）_{max}=\frac{3}{2}$，
此時$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{2π}{3}+4kπ，k∈Z$．
（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，得$sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$，
∴$sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$\frac{π}{6}＜\frac{B}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{2}{3}π$，
則$\frac{B}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，則B=$\frac{π}{3}$．
又a=2，c=3，
∴$^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cos\frac{π}{3}=4+9-6=7$，
則b=$\sqrt{7}$．
由$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$，得$sinA=\frac{a}sinB=\frac{2}{\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，訓練了正弦定理及余弦定理的應用，是中檔題．