Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n+1=2a_n+3，a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=1+b_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若c_n=a_n+3，求數(shù)列{c_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求出c_n=a_n+3，利用錯位相減法即可求數(shù)列{c_n•b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，a₁=1，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴數(shù)列{a_n+3}是以a₁+3=4為首項，公比q=2的等比數(shù)列，
則a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ⁺¹-3．
（2）∵b₁=1，b_n+1=1+b_n，
∴b_n+1-b_n=1，
即數(shù)列{b_n}的是公差d=1的等差數(shù)列，
則b_n=1+n-1=n，
即數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=n；
（3）若c_n=a_n+3，
則c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，
則c_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
則數(shù)列{c_n•b_n}的前n項和T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
則2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
兩式相減得-T_n=1•2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-4，
故T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，以及錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵．