Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x+a|+x．
（1）當(dāng)a=-2時，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的含義，對x討論，分當(dāng)x≥1時，當(dāng)x＜1時，最后取各部分解集的并集即可；
（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，等價于f（x）≤|x+3|在[1，2]內(nèi)恒成立，由此去掉一個絕對值符號，再探究f（x）≤|x+3|的解集與區(qū)間[1，2]的關(guān)系．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時，不等式f（x）≤2x+1即為|2x-2|≤x+1，
當(dāng)x≥1時，不等式即為2x-2≤x+1，解得1≤x≤3；
當(dāng)x＜1時，不等式即為2-2x≤2x+1，解得$\frac{1}{4}$≤x＜1．
即有原不等式的解集為[$\frac{1}{4}$，3]；
（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，
等價于f（x）≤|x+3|在[1，2]內(nèi)恒成立，
從而原不等式可化為|2x+a|+x≤x+3，即|2x+a|≤3，
∴當(dāng)x∈[1，2]時，-a-3≤2x≤-a+3恒成立，
∴-a-3≤2且-a+3≥4，
解得-5≤a≤-1，
故a的取值范圍是[-5，-1]．

點評 本題考查了含絕對值不等式的解法，一般有根據(jù)絕對值的含義和零點分段法，函數(shù)圖象法等．同時考查不等式恒成立問題，注意由條件去掉一個絕對值符號，是解題的關(guān)鍵．