Question

13．已知曲線C上的點(diǎn)到直線x=-2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F（1，0）做斜率為k的直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線定義“到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡”求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義，即可求出$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$為定值．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到直線x=-2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1，
所以動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-1的距離與它到點(diǎn)F（1，0）的距離相等，
故所求軌跡為：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線y²=4x．
（Ⅱ）證明：直線y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，
∴$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
∴$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．