Question

9．等比數(shù)列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）若等差數(shù)列{b_n}，b₁=a₅，b₈=a₂，求數(shù)列{b_n}前n項和S_n，并求S_n最大值和相應的n值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式求出首項和公比，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）由已知條件得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}={2}^{4}=16}\\{_{1}+7d=2}\end{array}\right.$，解得d=-2，S_n=16n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）=17n-n²，由此利用配方法能求出當n=8或n=9時，S_n最大值為S₈=S₉=72．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，a₅=16，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}{q}^{4}=16}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）∵等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₅，b₈=a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}={2}^{4}=16}\\{_{1}+7d=2}\end{array}\right.$，解得d=-2，
∴S_n=16n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）=17n-n²
=-（n-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{289}{4}$．
∴當n=8或n=9時，S_n最大值為S₈=S₉=72．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，訓練了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．