Question

20．已知函數(shù)f（x）=lg（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a）
（1）若函數(shù)f（x）定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a＞0，可得a＜e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，求出右邊的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）值域為R，則e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a能取遍一切正實數(shù)，可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a＞0，
可得a＜e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∵x∈R，∴e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2，
∴a＜2；
（2）函數(shù)f（x）值域為R，
則e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a能取遍一切正實數(shù)，
∴2-a≤0，
∴a≥2．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的值域的意義和應(yīng)用，均值定理在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，屬中檔題．