Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立．
（�。┣髮�(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）試比較e^a-2與a^e-2的大小，并給出證明（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828）．

Answer 1

分析 （1）一求切點(diǎn)，二求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率；
（2）只需求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)一步求其最值構(gòu)造不等式求解；比較大小可將兩個(gè)值看成函數(shù)值，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（Ⅰ） 因?yàn)閍=-2時(shí)，f（x）=inx+x-1，$f′（x）=\frac{1}{x}+1$．
所以切點(diǎn)為（1，0），k=f′（1）=2．
所以a=-2時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2．
（ II）（ i）由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），
所以$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{2}=\frac{2-ax}{2x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）=0，
∴a≤0不合題意．
②當(dāng)a≥2即$0＜\frac{2}{a}≤1$時(shí)，$f′（x）=-\frac{a（x-\frac{2}{a}）}{2x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2滿(mǎn)足題意．
③若0＜a＜2即$\frac{2}{a}＞1$時(shí)，由f′（x）＞0，可得$1＜x＜\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0，可得x$＞\frac{2}{a}$，
∴f（x）在$（1，\frac{2}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{2}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減，
∴$f（\frac{2}{a}）＞f（1）=0$，
∴0＜a＜2不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
（ ii）a≥2時(shí)，“比較e^a-2與a^e-2的大小”等價(jià)于“比較a-2與（e-2lna）的大小”
設(shè)g（x）=x-2-（e-2）lnx，（x≥2）．
則$g′（x）=1-\frac{e-2}{x}=\frac{（x+2）-e}{x}＞0$．
∴g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)間（e）=0．
當(dāng)x∈[2，e）時(shí)，g（x）＜0，即x-2＜（e-2）lnx，所以e^x-2＜x^e-2．
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)g（x）＞0，即x-2＞（e-2）lnx，∴e^x-2＞x^e-2．
綜上所述，當(dāng)a∈[2，e）時(shí)，e^a-2＜a^e-2；
當(dāng)a=e時(shí)，e^a-2=a^e-2；
當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，e^a-2＞a^e-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、分類(lèi)整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．