Question

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的非負半軸為極軸取相同的長度單位建立極坐標系，曲線的參數方程為（為參數，），直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若為曲線上任意一點，為直線任意一點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 直線的直角坐標方程為,曲線的軌跡方程是上半圓;(2) 的最小值為.

【解析】試題分析：

（1）將曲線的參數方程中的參數消去可得普通方程，根據變換公式消去可得直線的直角坐標方程．（2）由于曲線C為半圓，根據直線和圓相離時，圓上的點到直線的最小距離為圓心到直線的距離減去半徑求解即可．

試題解析：

（1）曲線的參數方程為（為參數，），

消去參數可得，

由于，所以，

故曲線的軌跡方程是.

由，可得，即，

把代入上式可得，

故直線的直角坐標方程為.

（2）由題意可得點在直線上，點在半圓上，

半圓的圓心到直線的距離等于，

故的最小值為.