Question

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，求：
（Ⅰ）f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1）上的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）設(shè)f（x）的一般式y(tǒng)=ax²+bx+c，結(jié)合f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，分別代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組即可．
（II）結(jié)合（I）中函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)的最值，進而可得f（x）在（0，1）上的值域

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）的一般式y(tǒng)=ax²+bx+c，
∵f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，
∴

c=1 a+b+c=1 1 4 a+ 1 2 b+c= 3 4

解得

a=1 b=-1 c=1

∴f（x）=x²-x+1…..…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x²-x+1的解析式可化為：
f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈(0，1)；
當x=

1

2

時，f(x)min=

3

4

；當x=1時，f（1）=1，
綜上，f（x）在（0，1）上的值域是[

3

4

，1)…（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的求法，熟練掌握待定系數(shù)法的步驟和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．