Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求對(duì)角線BD、AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)E，由已知條件推導(dǎo)出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割線定理、勾股定理和三角形相似能求出對(duì)角線BD、AC的長(zhǎng)．

解答： 解：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)E，
∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，
∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，
∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，
∴EC=2BC=2×3=6，
∴EB=

3

BC=3

3

，
∴ED=DC+EC=5+6=11，
∵EC×ED=EB×（EB+AB）
則6×11=3

3

×（3

3

+AB），
解得AB=

13 3

3

，
∴AC=

32+( 13 3 3 )2

=

14 3

3

，
∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，
∴△EDB∽△EAC，∴

BD

AC

=

BE

CE

，
∴BD=

AC•BE

CE

=

14 3 3 ×3 3

6

=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．