Question

三棱錐S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形，SB=a，則以下結論中：
①異面直線SB與AC所成的角為90°； 
②直線SB⊥平面ABC； 
③面SBC⊥面SAC；
④三棱錐S-ABC外接球的表面積為πa²．
正確的為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離,簡易邏輯

分析：由題目中的條件可以證得，三棱錐的一個側棱SB⊥平面ABC，面SBC⊥AC，由此易判斷得①②③都是正確的；再由題意可得SA為三棱錐S-ABC外接球的直徑，解直角三角形求得SA后代入球的表面積公式判斷．

解答： 解：由題意三棱錐S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，知SB⊥BA，SC⊥CA，
又△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形可得AC⊥BC，又BC∩SB=B，故有AC⊥面SBC，故有SB⊥AC，故①正確，
由此可以得到SB⊥平面ABC，故②正確，
再有AC?面SAC得面SBC⊥面SAC，故③正確，
△SAB是以SA為斜邊的直角三角形，△SCA是以SA為斜邊的直角三角形，∴SA為三棱錐S-ABC外接球的直徑，
∵SB=a，△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形，∴AB=

2

a，SA=

a2+( 2 a)2

=

3

a，
∴三棱錐S-ABC外接球的表面積為44π×(

3 a

2

)2=3πa2，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．