Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2$\sqrt{3}$，∠ADC=60°，E為線段PC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PC}$．
（Ⅰ）求證：CD⊥AE； 
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直線AE與平面PBC所成的角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；
（II）由面面垂直可得AB⊥AD，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AE}$和平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，列方程解出λ即可．

解答 證明：（Ⅰ）在△ADC中，AD=4，$AC=2\sqrt{3}$，∠ADC=60°
由正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{4}{sin∠ACD}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得sin∠ACD=1，
∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴DC⊥PA．
又AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC．∵AE?平面PAC，
∴CD⊥AE．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即為二面角B-PA-D的平面角．
∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則$A（0，0，0），B（\sqrt{3}，0，0），C（\sqrt{3}，3，0），P（0，0，3）$，
$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，0，-3），\overrightarrow{BC}=（0，3，0）$． $\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，3，-3）.$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3）．
∴$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}λ$，3λ，-3λ），∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}λ$，3λ，3-3λ）．
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-3z=0\\ 3y=0\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1）．
設(shè)直線AE與平面PBC所成的角為θ，則$sinθ=|{\frac{{n•\overrightarrow{AE}}}{{|n|•|{\overrightarrow{AE}}|}}}|=\frac{{|{3λ+3-3λ}|}}{{2\sqrt{3{λ^2}+9{λ^2}+{{（3-3λ）}^2}}}}=\frac{3}{{2\sqrt{21{λ^2}-18λ+9}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$，
∴$λ=\frac{1}{3}$或$\frac{11}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．