Question

13．若不等式（1-x）e^ax＜1+x在x∈（0，1）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 將原不等式變形即為ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax＞0在x∈（0，1）上恒成立．令f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax（0＜x＜1），求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤2時，當(dāng)a＞2時，運用單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：不等式（1-x）e^ax＜1+x在x∈（0，1）上恒成立，
即為e^ax＜$\frac{1+x}{1-x}$，即ax＜ln$\frac{1+x}{1-x}$，
即ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax＞0在x∈（0，1）上恒成立．
令f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax（0＜x＜1），
f′（x）=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-a，
由0＜x＜1可得$\frac{2}{1-{x}^{2}}$＞2，
當(dāng)a≤2時，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）＞f（0）=0；
當(dāng)a＞2時，f′（x）＞0不恒成立，故舍去．
綜上可得a的取值范圍是（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查不等式的恒成立問題的解法，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．