Question

3．下表提供了某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty$=$\hat b$x+$\hat a$；
（2）請求出相關(guān)指數(shù)R²，并說明殘差變量對預報變量的影響約占百分之幾．
（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

Answer 1

分析 （1）首先做出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果；
（2）直接根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式求出相關(guān)指數(shù)R²，進而可得殘差變量對預報變量的影響約占百分之幾．

解答 解：（1）由已知可得：
$\sum_{i=1}^4{{X_i}{Y_i}}=66.5$，$\sum_{i=1}^4{X_i^2}={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=86$，
$\overline x=4.5$，$\overline y=3.5$，
$\hat b=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=\frac{66.5-63}{86-81}=0.7$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.5-0.7×4.5=0.35$
所求的回歸方程為  $\widehaty=0.7x+0.35$…（7分）
（2）計算得殘差及偏差的數(shù)據(jù)如下表：

${y_i}-\widehat{y_i}$	0.05	-0.15	0.15	-0.05
${y_i}-\overline y$	-1	-0.5	0.5	1

從而得$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}=0.05$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=2.5$
所以${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}=1-\frac{0.05}{2.5}=0.98$．…12分
所以殘差變量對預報變量的貢獻率約為2%．…（14分）

點評 本題考查回歸直線方程，相關(guān)指數(shù)，考查回歸分析的初步應(yīng)用．確定回歸直線方程是關(guān)鍵．