Question

20．奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上滿足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，且f（2）=0，則不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集為（　　）

• A． （-2，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）在（0，+∞）上滿足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；結(jié)合f（2）=0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而得到不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上滿足：任意x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
又由f（2）=0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（-2）=0，
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，2）時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x∈（-2，0）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
∵$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$=$\frac{2f（x）}{x}$＜0，
故x∈（-2，0）∪（0，2），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．