Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=3ax²-3，從而討論以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x+1，
∴f′（x）=3ax²-3，
當(dāng)a≤1時，對于任意的x∈[-1，1]，f′（x）≤0恒成立；
∴f（x）=ax³-3x+1在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（1）=a-3+1≥0，
故a≥2；
故無解；
當(dāng)a＞1時，f′（x）=3ax²-3=3a（x-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）（x+$\frac{\sqrt{a}}{a}$），
∴f（x）在[-1，-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上是減函數(shù)，
在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，1]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-a+3+1≥0}\\{f（\frac{\sqrt{a}}{a}）=a•（\frac{\sqrt{a}}{a}）^{3}-3\frac{\sqrt{a}}{a}+1≥0}\end{array}\right.$，
解得，a=4；
故函數(shù)f（x）=4x³-3x+1=（2x-1）²（x+1），
故函數(shù)f（x）的零點為$\frac{1}{2}$和-1；
故答案為：2．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的方法．