Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$，求它的最小值．

Answer 1

分析 把已知的函數(shù)解析式變形，然后換元，再利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性求得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$=$\frac{si{n}^{2}θ+2+1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+2}+\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$，
令$\sqrt{si{n}^{2}θ+2}=t$，則t∈[$\sqrt{2}，\sqrt{3}$]．
原函數(shù)化為g（t）=$t+\frac{1}{t}$，在[$\sqrt{2}，\sqrt{3}$]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，$g（t）_{min}=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了換元法，訓(xùn)練了利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是中檔題．