Question

函數(shù)f（x）=1+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）當x＞0時，求證：f（x）-1≥a（1-

1

x

）；
（Ⅱ）在區(qū)間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：設φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)，由φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，得x=1，由此利用導數(shù)性質能證明f（x）-1≥a（1-

1

x

）．
（Ⅱ）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞

x-1

lnx

，由此利用導數(shù)性質能求出a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：設φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)，
則φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，解得x=1，…．（2分）
0＜x＜1時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)減，
x＞1時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)增，
∴φ（x）在x=1處取到最小值，
則φ（x）≥φ（1）=0，
∴f（x）-1≥a（1-

1

x

）．…（5分）
（Ⅱ）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞

x-1

lnx

，
另g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

…..（7分）
另h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
則h（x）單調(diào)遞增所以h（x）＞h（1）=0…..（10分）
因為h（x）＞0，所以g'（x）＞0，
即g（x）單調(diào)遞增，則g（x）的最大值為g（e）=e-1，
所以a的取值范圍為[e-1，+∞）．…（12分）

點評：本題考查不等式的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)的性質的合理運用．