Question

5．如圖，在五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，AB=FD=2BC=2AE，現(xiàn)把此五邊形ABCDE沿
FD折成一個(gè)60°的二面角．
（Ⅰ）求證：直線CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求二面角E-CD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明四邊形ABCE為平行四邊形得到CE∥AB，從而直線CE∥平面ABF；
（Ⅱ）取FD得中點(diǎn)G，如圖作輔助線．先證明DF⊥平面ABF，從而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，從而CD⊥EI，從而∠EIH為二面角E-CD-F的平面角．代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，
又∵BC=AE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE∥AB．
又CE?平面ABF，AB?平面ABF，所以直線CE∥平面ABF；
（Ⅱ）解：如圖，取FD得中點(diǎn)G，連接EG、CG，
在△CEG中，作EH⊥CG，垂足為H，
在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足為I，連接EI．
∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．
又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，
∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，
又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，
從而∠EIH為二面角E-CD-F的平面角．
設(shè)BC=AE=1，則FG=GD=CG=GE=1，
由于∠EGC為二面角C-FD-E的平面角，即∠EGC=60°，
所以在△CEG中，HG=CH=$\frac{1}{2}$，EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HI=CHsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以EI=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，所以cos∠EIH=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角、空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬中檔題．