Question

3．已知f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域；
（2）若f（x）的最小值為m，a，b，c∈R，a+b+c=m，證明：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，|x-1|+|x-2|＞2，利用絕對(duì)值的幾何意義化簡(jiǎn)，即可確定函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域；
（2）確定a+b+c=1，再由三元柯西不等式即可得證．

解答 （1）解：由題意，|x-1|+|x-2|＞2，
x＜1時(shí)，-x+1-x+2＜2，解得x＞0.5，∴0.5＜x＜1；
1≤x≤2時(shí)，x-1-x+2＜2，成立；
x＞2時(shí)，x-1+x-2＜2，解得x＜2.5，∴2＜x＜2.5；
綜上所述，0.5＜x＜2.5，
∴函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域?yàn)閧x|0.5＜x＜2.5}；
（2）證明：f（x）=|x-1|+|x-2|≥|x-1-x+2|=1，
∴f（x）的最小值為1，
∴m=1，
∴a+b+c=1
由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²，
即得a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)的最值的求法，考查柯西不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．