Question

10．已知函數f（x）=-sin²x+sinx+$\frac{1}{2}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）設函數g（x）=acosx-2，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，若對于任意x₁∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，一定存在x₀∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得sinx的范圍，再利用二次函數的性質求得f（x）=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 的值域．
（2）由題意可得f（x）的值域是g（x）值域的子集，分別求得g（x₀）和f（x₁）的范圍，分類討論，考查端點間的大小關系，求得a的范圍．

解答 解：（1）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．可得sinx∈[-1，1]，∵函數f（x）=-sin²x+sinx+$\frac{1}{2}$=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
∴當sinx=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{3}{4}$；當sinx=-1時，函數f（x）取得最小值為-$\frac{3}{2}$，故f（x）的值域為[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]．
（2）由x₁∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x₁）∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]；根據x₀∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx₀∈[0，1]．
由題意可得f（x）的值域是g（x）值域的子集．
∴①當a＞0時，g（x₀）=acosx-2∈[-2，a-2]．
結合題意可得[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]⊆[-2，a-2]，∴a-2≥$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{11}{4}$．
②當a＜0時，g（x₀）=acosx-2∈[a-2，-2]，不滿足[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]⊆[a-2，-2]．
③當a=0時，g（x）=-2，不滿足條件．
綜上可得，a≥$\frac{11}{4}$．

點評 本題主要考查正弦函數、余弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．