Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（0，-1），N（0，1），動點(diǎn)P滿足PM=$\sqrt{2}$PN．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C₁的方程，并說明是什么曲線
（2）二次函數(shù)f（x）=x²+2x-3的圖象與兩坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，過這三點(diǎn)的圓記為C₂，求證C₁、C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)，并求出這兩個(gè)公共點(diǎn)間距離．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，可得點(diǎn)P的軌跡C₁的方程，表示以（0，3）為圓心，2$\sqrt{2}$為半徑的圓；
（2）求出圓C₂的方程，可得C₁、C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)，求出公共弦的方程，即可求出這兩個(gè)公共點(diǎn)間距離．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵點(diǎn)M（0，-1），N（0，1），動點(diǎn)P滿足PM=$\sqrt{2}$PN，
∴$\sqrt{（0-x）^{2}+（-1-y）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（0-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，
∴x²+y²-6y+1=0，即x²+（y-3）²=8，
表示以（0，3）為圓心，2$\sqrt{2}$為半徑的圓；
（2）二次函數(shù)f（x）=x²+2x-3的圖象與兩坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)（0，-3），（1，0），（-3，0），
設(shè)圓C₂的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得$\left\{\begin{array}{l}{9-3E+F=0}\\{1+D+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，∴D=2，E=2，F(xiàn)=-3，
∴圓C₂的方程為x²+y²+2x+2y-3=0，即（x+1）²+（y+1）²=5，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{（0+1）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵5-2$\sqrt{2}$＜|C₁C₂|＜5-2$\sqrt{2}$，
∴C₁、C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)，
兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦的方程：x+4y-2=0，
（0，3）到直線的距離為$\frac{10}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{10}{\sqrt{17}}$，
∴兩個(gè)公共點(diǎn)間距離2$\sqrt{8-\frac{100}{17}}$=$\frac{12}{17}\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．