Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），A₁，A₂是雙曲線實軸的兩個端點，MN是垂直于實軸所在直線的弦的兩個端點，則A₁M與A₂N交點的軌跡方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1

Answer 1

分析 利用交軌法來求直線MA₁和NA₂的交點的軌跡方程，先根據(jù)已知條件求出A₁、A₂點的坐標，設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線MA₁和NA₂的方程，聯(lián)立方程，方程組的解為直線MA₁和NA₂交點的坐標，再把M點坐標（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡的方程．

解答 解：∵A₁、A₂是雙曲線的左、右頂點，∴A₁（-a，0），A₂（a，0）
∵MN是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的弦，且MN與x軸垂直，∴設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀）
則直線MA₁和NA₂的方程分別為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$（x-a）
聯(lián)立兩方程，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵M（x₀，y₀）在雙曲線上，代入雙曲線方程，得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1
即直線MA₁和NA₂的交點的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
故選：A．

點評 本題主要考查了交軌法求軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力．