Question

9．函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)n∈N^*時(shí)，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，則f（8）=15．

Answer 1

分析 先確定f（1）≥2，進(jìn)而可確定f（2）≤f（f（1））=3，f（3）≥f（f（2））=6，f（6）≤f（f（3））=9，從而可得結(jié)論．

解答 解：∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，且f（1）≠1，（若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與f（1）=1矛盾）
∵f（x）∈N^*
∴f（1）≥2
∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，f[f（n）]=3n，
∴f（2）≤f（f（1）），
∵f（f（1））=3，
∴f（2）≤3
∴f（3）≥f（f（2）），
∵f（f（2））=6，
∴f（3）≥6
∴f（6）≤f（f（3）），
∵f（f（3））=9，
∴f（6）≤9
∵當(dāng)n∈N^*時(shí)，f（n）∈N^*，即f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）均為整數(shù)，
且f（x）為定義域內(nèi)的增函數(shù)，
∴f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6），
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=7，f（5）=8，f（6）=9，
∴f（8）=f[f（5）]=15，
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．